Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的长；
（3）若CD=CE，则直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．试证明之．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,切线的判定

专题：

分析：（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFE=∠B，得出∠AFD=∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE=

AD2+AE2

，再根据△ADF∽△DEC，得出

AF

DC

=

AD

DE

，即可求出AF的长；
（3）先过点E作EH⊥CD于点H，在△ADE和△HDE中，根据AAS得出△ADE≌△HDE，AE=HE，即可得出直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD=3

3

，AE=3，
∴DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得

AF

DC

=

AD

DE

，
∴AF=

DC×AD

DE

=

4×3 3

6

=2

3

．  

（3）过点E作EH⊥CD于点H．
∵CD=CE，
∴∠CED=∠CDE．
∵∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE．
又∵∠EAD=∠EHD=90°，DE=DE，
在△ADE和△HDE中，

∠ADE=∠CDE ∠EAD=∠EHD DE=DE

∴△ADE≌△HDE，
∴AE=HE，
∴直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．