Question

如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当AC=3，OC=1，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）延长AO至圆上E点，连接BE，由勾股定理得AO长度，易得△AOC∽△ABE，通过线段比例得出BC的长度．

解答：（1）证明：连接BD，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；

（2）解：延长AO至圆上E点，连接BE，
∵AC=3，OC=1，
∴AO=2

2

，
∵∠ABE=∠AOD=90°，
∴△AOC∽△ABE
∴

AC

AO

=

AE

AB

即：

3

2 2

=

4 2

3+BC

∴BC=

7

3

．

点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．