Question

如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，OA在x轴正半轴上，菱形的边长为6，∠AOC=60°．动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿x轴正半轴的线路运动，动点Q以相同的速度从点C同时出发沿线路CB-BA运动．当点Q到达点A后，两点同时停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t（n），△CPQ的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）当t为何值时，PC⊥AB？请说明理由；
（3）①当点Q在AB边上时，求S与t之间的函数关系式；
     ②当t为何值时，点Q落在直线PC上？为什么？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图1，过点C作CD⊥OA，交x轴于点D．就可以求出OD的值，由勾股定理就可以求出CD的值，进而求出结论；
（2）当PC⊥AB时，由菱形的性质就可以求出∠OPC=30°，就可以求出∠PCO=90°，由直角三角形的性质就可以求出OP的值，就可以得出结论；
（3）①过点Q作QE⊥OA，交x轴于点E，过点A作AF⊥OC于F，就可以求出QE的值，由梯形OAQC的面积+△APQ的面积-△OPC的面积就可以求出结论；
②根据①的解析式，当S=0时，求出t的值即可．

解答：解：（1）如图1，过点C作CD⊥OA，交x轴于点D．
∴∠CDO=90°．
∵∠AOC=60°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=

1

2

OC．
∵OC=6，
∴OD=3．
在Rt△ODC中，由勾股定理，得
CD=3

3

．
∴C（3，3

3

）；
（2）当t=12s时，PC⊥AB．
理由：如图2∵四边形OABC是菱形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC=∠PAB=60°．
∵PC⊥AB，
∴∠AGP=90°，
∴∠GPA=30°．
∴∠PCO=90°，
∴OP=2OC，
∴OP=12．
∴t=12÷1=12s．
∴当t=12s时，PC⊥AB；
（3）①当Q点在BA上时，6≤t≤12，过点Q作QE⊥OA，交x轴于点E，过点A作AF⊥OC于F，
∴∠AFO=∠AEQ=90°．
∴AQ=12-t，AP=t-6，AF=CD=3

3

．
∴QE=AQsin60°=

3

2

（12-t）．
∵S=S_梯形AOQC+S_△AQP-S_△POC，
∴S=

1

2

[（12-t）+6]×3

3

+

1

2

（t-6）×

3

2

（12-t）-

1

2

t×3

3

，
∴S=-

3

4

t²+

3 3

2

t+9

3

．
②∵点Q落在直线PC上，
∴S=0，
∴-

3

4

t²+

3 3

2

t+9

3

=0，
∴t₁=3+3

5

，t₂=3-3

5

＜0（舍去）．
∴当t=3+3

5

s时，点Q落在直线PC上．

点评：本题考查了菱形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，解答时求出△PQC的面积与t的关系式是关键，