Question

16．如图，点A、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，S_△BNC=2，则k的值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由BN∥AM可判断△CNB∽△CMA，根据相似的性质得S_△CNB：S_△CMA=（$\frac{CN}{CM}$）²=$\frac{1}{4}$，则S_△CMA=8，由于OM=MN=NC，根据三角形面积公式得到S_△AOM=$\frac{1}{2}$S_△AMC=4，然后根据反比例函数k的几何意义得到S_△AOM=$\frac{1}{2}$|k|=4，再去绝对值易得k的值．

解答 解：∵BN∥AM，MN=NC，
∴△CNB∽△CMA，
∴S_△CNB：S_△CMA=（$\frac{CN}{CM}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，而S_△BNC=2，
∴S_△CMA=8，
∵OM=MN=NC，
∴OM=$\frac{1}{2}$MC，
∴S_△AOM=$\frac{1}{2}$S_△AMC=4，
∵S_△AOM=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=4，
∴k=8．
故选（C）

点评 本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义以及相似三角形的判定与性质．从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．