Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，其顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点B（6，3）在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，点D在双曲线y=-

8

x

（x＜0）上．
（1）求k的值；
（2）求OA的长；
（3）以OB、OD为边作平行四边形BODE，判断点E是否在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标性质求出即可；
（2）首先利用已知得出△ADM∽△BAF，进而得出AF的长，即可得出AO的长；
（3）利用平行四边形的性质进而得出DN以及EN的值即可得出E点坐标，即可得出答案．

解答： 解：（1）∵点B（6，3）在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴k=6×3=18；

（2）过点B作BF⊥x轴于点F，过点D作DM⊥x轴于点M，
∵矩形ABCD中，∠DAB=90°，
∴∠MAD+∠BAF=90°，
∵∠MDA+∠DAM=90°，
∴∠MDA=∠BAF，
∵∠DMA=∠AFB，
∴△ADM∽△BAF，
∴

AD

AB

=

DM

AF

=

AM

BF

=2，
∵BF=3，OF=6，
∴AM=6，
∴MO=AF，
设AF=x，则MO=x，DM=2x，
故x•2x=|-8|，
解得：x=2，
故AO=6-2=4；

（3）点E不在双曲线y=

k

x

（x＞0）上．
理由：由（2）可得D点坐标为：（-2，4），
当四边形DOBE是平行四边形，
作DN∥x轴，过点E作EN⊥DN交于点N，
可得DN=FO=6，EN=BF=3，
故E（4，7），
∵4×7=28≠18，
故点E不在双曲线y=

k

x

（x＞0）上．

点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的特征以及平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，得出E点坐标是解题关键．