Question

如图，在平面直角坐标系中有等腰直角三角形ABC，A（-2，0），B（0，1），C（-3，2），将△ABC沿x轴正方向平移，在第一象限内，B，C两点的对应点E，F正好落在某反比例函数图象上．
（1）请求出这个反比例函数和此时直线EF的解析式；
（2）在（1）的条件下，直线EF交y轴于点G，是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMF是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出F（m，2），则E（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将F与E的坐标代入求得m、k的值，得到反比例函数解析式，设直线EF的解析式为y=ax+b，将F与E的坐标代入，求得a与b的值，即可确定出直线EF的解析式；
（2）过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=

6

x

的图象交于P′点，作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E'，作QF⊥x轴于点F'，假设存在点M、P使得四边形PGMF是平行四边形，证明△P′E′Q≌△QF′M′，可得E′Q=F′M′，设E′Q=F′M′=t，得出点P′的纵横坐标，代入反比例函数解析式中，求出t的值，继而可求得点M和点P的坐标．

解答： 解：（1）设反比例函数为y=

k

x

，点F和E在该比例函数图象上，
设F（m，2），则E（m+3，1）
把点F和E的坐标分别代入y=

k

x

，
得k=2m，k=m+3，
解得：m=3，k=6，
则反比例函数解析式y=

6

x

，
则点F（3，2），E（6，1），
设直线EF的解析式为y=ax+b，把F、E两点坐标代入得：

3a+b=2 6a+b=1

，
解得：

a= 1 3 b=3

．
∴直线EF的解析式为y=-

1

3

x+3；

（2）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMF是平行四边形，理由为：
设Q是GF的中点，令y=-

1

3

x+3中x=0，得到y=3，
∴G（0，3），
又∵F（3，2），
∴Q（

3

2

，

5

2

），
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=

6

x

的图象交于P′点，
若四边形P′G M′F是平行四边形，则有P′Q=Q M′，
易知点M′的横坐标大于

3

2

，点P′的横坐标小于

3

2

，
作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E'，作QF⊥x轴于点F'，
∵QF'∥P′E'，
∴∠M′QF'=∠QP′E'，
在△P′E′Q和△QF′M′中，
∵

∠P′E′Q=∠QF′M′ ∠QP′E′=∠M′QF′ P′Q=QM′

，
∴△P′E′Q≌△QF′M′（AAS），
∴E′Q=F′M′，P′Q=QM′，
设E′Q=F′M′=t，
∴点P′的横坐标x=

3

2

-t，点P′的纵坐标y=2•y_Q=5，点M′的坐标是（

3

2

+t，0），
∴P′在反比例函数图象上，即5（

3

2

-t）=6，
解得：t=

3

10

，
∴P′（

6

5

，5），M′（

9

5

，0）．
则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面．