Question

如图，在直角坐标系中，已知坐标轴上两点A（1，0）、B（0，1），P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

的图象在第一象限内的一支上的可动点，由P向x轴、y轴作垂线（C、D为垂足）分别交线段AB于E、F两点．
（1）求线段BE、AF的长（用a，b的代数式表示）；
（2）△AOF与△BOE一定相似吗？说明理由；
（3）当P点在曲线上移动时，△OEF的哪个角的大小保持不变，为什么？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1））作EH⊥OB于H，作FG⊥OA于G，先证EH∥PD，FG∥PC，得出比例式

BE

AB

=

EH

OA

，

AF

AB

=

FG

OB

，即可求出BE、AF；
（2）先证∠OAB=∠OBA，再证明

AF

OA

=

OB

BE

，即可证出△AOF∽△BOE；
（3）∠EOF=45°保持不变；由△AOF∽△BOE，得出对应角相等∠AFO=∠BOE，再根据外角∠AOF=∠BOF+45°，即可得出结论．

解答： 解：（1）作EH⊥OB于H，作FG⊥OA于G，如图所示：
根据题意得：OA=OB=1，EH=a，FG=b，
∴AB=

2

，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴EH∥PD，FG∥PC，
∴

BE

AB

=

EH

OA

，

AF

AB

=

FG

OB

，
即

BE

2

=

a

1

，

AF

2

=

b

1

，
∴BE=

2

a，AF=

2

b；
（2）△AOF∽△BOE；理由如下：
∵P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

的图象在第一象限内的一支上的可动点，
∴ab=

1

2

，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵

AF

OA

=

2 b

1

=

2

b，

OB

BE

=

1

2 a

=

2

2a

=

2

b，
∴

AF

OA

=

OB

BE

，
∴△AOF∽△BOE；
（3）∠EOF=45°保持不变；
∵△AOF∽△BOE，
∴∠AFO=∠BOE，
∵∠AOF=∠BOF+45°，∠BOE=∠EOF+∠BOF，
∴∠EOF=45°．

点评：本题通过反比例函数、相似三角形的判定与性质等知识，考查学生的推理论证和计算能力；证明三角形相似是解题的关键．