如图.在Rt△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.直角∠EPF的顶点P是BC的中点.将∠EPF绕顶点P旋转.两边PE.PF分别交AB.AC于点E.F．下列四个结论:①AE=CF,②△PEF是等腰直角三角形,③EF=AP,④S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC．在∠EPF旋转过程中.上述四个结论始终正确的有( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，将∠EPF绕顶点P旋转，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．下列四个结论：
①AE=CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF=AP；④S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
在∠EPF旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（　　）

A．

①②③

B．

②③④

C．

①③④

D．

①②④

分析根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．

解答解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△AEP与△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠APE=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA）．
∴AE=CF；EP=PF，故①②正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
∵△AEP≌△CPF，
∴S_△AEP=S_△CPF（全等三角形的面积相等），
又∵S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．故④正确．
故选D．

点评此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积熟记定理是解题的关键．

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