Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=BE=2，sin∠ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=2，由直角三角形的性质求出CE和DE，得出AC的长，即可求出四边形ABCD的面积．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：∵sin∠ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACD=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=2，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
∵AB=BE=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=2，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴DE=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}$，AC=AE+CE=3，
∴平行四边形ABCD的面积=2△ACD的面积=AC•DE=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形性质的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．