Question

19．观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：
                                                  第1层  1+2=3
                                                第2层   4+5+6=7+8
                                             第3层    9+10+11+12=13+14+15
                                             第4层  16+17+18+19+20=21+22+23+24
                                                                   …
（1）填空：第6层等号右侧的第一个数是43，第n层等号右侧的第一个数是n²+n+1（用含n的式子表示，n是正整数）；数字2017排在第几层？请简要说明理由；
（2）求第99层右侧最后三个数字的和．

Answer 1

分析 （1）由题意知，第6层等号左侧的第一个数是6²=36、第n层等号左侧的第一个数是n²，分别加上序数加1即可得；根据第n层的第一个数是n²，由44²＜2016＜45²可得答案；
（2）由以上规律知第99层右侧最后三个数字为100²-1、100²-2、100²-3，相加可得．

解答 解：（1）由题意知，第6层等号左侧的第一个数是6²=36，
∴第6层等号右侧的第一个数是36+6+1=43；
∵第n层等号左侧的第一个数是n²，
∴第n层等号右侧的第一个数是n²+n+1，

由题意知，第n层的第一个数是n²，
∵44²=1936，45²=2025，
∴44²＜2017＜45²，
∴2017排在第44层；
故答案为：43，n²+n+1；44；

（2）由题意知（100²-1）+（100²-2）+（100²-3）
=3×10000-6
=29994，
答：第99层右侧最后三个数字的和为29994．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意知第n层的第一个数是n²、第n层的右侧第一个数是n²+n+1是解题的关键．