Question

11．如图1，正方形ABCD的边长为4厘米，E为AD边的中点，F为AB边上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E，向终点E以每秒a厘米的速度运动，设运动时间为t秒，△PBF的面积记为S．S与t的部分函数图象如图2所示，已知点M（1，$\frac{3}{2}$）、N（5，6）在S与t的函数图象上．
（1）求线段BF的长及a的值；
（2）写出S与t的函数关系式，并补全该函数图象；
（3）当t为多少时，△PBF的面积S为4．

Answer 1

分析 （1）根据t=5时S=6求出BF的长，根据t=1时S=$\frac{3}{2}$列式可计算出a的值；
（2）S与t的函数关系式分以下三种情况：
①点P在BC上运动时，即0≤t≤4；
②点P在CD边上运动，即4＜t≤8；
③点P在线段DE上运动时，即8＜t≤10，分别按照三角形面积公式列出函数表达式．
（3）把S=4分别代入S=$\frac{3}{2}$t和S=18-$\frac{3}{2}$t，求得t的值即可．

解答 解：（1）根据题意可知，当点P在CD上时，△PBF的面积记为S=6，
则有：$\frac{1}{2}$×BF×4=6，解得：BF=3，
当t=1时，S=$\frac{3}{2}$，BP=a，
则有：$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}×3a$=$\frac{3}{2}$，
解得：a=1，
故线段BF的长为3，a的值为1；
（2）当0≤t≤4时，即点P在BC边上运动，
S=$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{1}{2}$×3×t=$\frac{3}{2}$t；
当4＜t≤8时，即点P在CD边上运动，
此时面积S=$\frac{1}{2}$×BF×BC=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
当8＜t≤10时，即点P在线段DE上运动，
S=$\frac{1}{2}$×BF×AP=$\frac{1}{2}$×3×（12-t）=18-$\frac{3}{2}$t．
综上：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}t（0≤t≤4）}\\{6（4＜t≤8）}\\{18-\frac{3}{2}t（8＜t≤10）}\end{array}\right.$；
函数图象如下所示：

（3）当S=4时，$\frac{3}{2}$t=4，t=$\frac{8}{3}$．
18-$\frac{3}{2}$t=4，t=$\frac{28}{3}$．
故当t=$\frac{8}{3}$或 t=$\frac{28}{3}$时△PBF的面积S为4．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．