Question

8．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：DE=AF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AB、AC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，可证得四边形AEDF是平行四边形，即可证得结论；
（2）由AD平分∠BAC，DE∥AC，易证得△ADE是等腰三角形，又由四边形AEDF是平行四边形，即可证得四边形AEDF是菱形；
（3）当AC⊥AB时，由四边形AEDF是菱形，即可证得四边形AEDF是正方形．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF；

（2）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠FAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形；

（3）在（2）的条件下，当AB⊥AC时，四边形AEDF是正方形．
理由：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质以及正方形的判定．注意熟练掌握菱形与正方形的判定是解此题的关键．