Question

3．如图，坐标系中，AB⊥x轴于A点，双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$过点B，反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$过C，D点且OD=BC，已知B（2，3），则D点坐标为（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出直线OB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x，则设D（a，$\frac{3}{2}$a），利用勾股定理计算出OD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，再由AB⊥x轴得C点的横坐标为2，设C点的纵坐标为t，根据反比例函数图象上点的坐标特征得a•$\frac{3}{2}$a=2•t，解得t=$\frac{3}{4}$a，于是可表示出C点坐标为（2，$\frac{3}{4}$a²），所以BC=3-$\frac{3}{4}$a²，利用OD=BC得到$\frac{\sqrt{13}}{2}$a=3-$\frac{3}{4}$a²，然后解此方程求出a的值，从而可得到D点坐标．

解答 解：设直线OB的解析式为y=kx，
把B（2，3）代入得2k=3，解得k=$\frac{3}{2}$，
所以直线OB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x，
设D（a，$\frac{3}{2}$a），
∴OD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{3}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
∵AB⊥x轴，B（2，3），
∴C点的横坐标为2，
设C点的纵坐标为t，
∵反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$过C，D点，
∴a•$\frac{3}{2}$a=2•t，解得t=$\frac{3}{4}$a，
∴C点坐标为（2，$\frac{3}{4}$a²），
∴BC=3-$\frac{3}{4}$a²，
∵OD=BC，
∴$\frac{\sqrt{13}}{2}$a=3-$\frac{3}{4}$a²，
整理得3a²+2$\sqrt{13}$a-12=0，解得a₁=$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，a₂=$\frac{-\sqrt{13}-7}{3}$（舍去），
∴D点坐标为（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．
故答案为（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．