Question

8．已知如图，矩形OCBD如图所示，OD=2，OC=3，反比例函数的图象经过点B，点A为第一象限双曲线上的动点（点B除外），过点A作AF⊥BD于点F，AE⊥x轴于点E，若矩形OCBD和矩形AEDF相似，则点A的坐标是（$\sqrt{5}$+1，$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$）或（$\sqrt{10}$+1，$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$）．

Answer 1

分析 分AF与BC为对应边和AF与OC为对应边两种情况讨论，先求出反比例函数的解析式，再根据相似多边形的性质求解即可．

解答 解：当AF与BC为对应边时，设AE=3y，则AF=DE=2y，
∵OD=2，OC=3，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$，
由题意得，2+2y=$\frac{6}{3y}$，
整理得，y²+y-1=0，
解得，y₁=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），y₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点A的坐标是（$\sqrt{5}+1$，$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$）；
当AF与OC为对应边时，设AE=2y，则AF=DE=3y，
则2+3y=$\frac{6}{2y}$，
整理得，3y²+2y-3=0，
解得，y₁=$\frac{-1-\sqrt{10}}{3}$（舍去），y₂=$\frac{-1+\sqrt{10}}{3}$，
∴点A的坐标是（$\sqrt{10}$+1，$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$）．
故答案为：（$\sqrt{5}+1$，$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$）或（$\sqrt{10}$+1，$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$）．

点评 本题考查的是相似多边形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，运用分情况讨论思想、设出反比例函数图象上点的纵坐标是解题的关键．