题目内容
14．
已知∠ABC=90°，AB=BC，F为AC上一点，D，E分别为AB，AF的中点，连接BF，过F作FG∥BE交DE的延长线于G，连接BE，且BE=2DE，AC=6$\sqrt{2}$（1）求证：四边形BEGF为菱形；
（2）求四边形BEGF的面积；
（3）连接AG，GC，则四边形ABCG为何种特殊的四边形，请说明理由；
（4）M为四边形ABCG边上一点，AM交DG于N点，且满足AM=BG，求AN的长度．
分析 （1）根据DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以证明四边形BEGF是平行四边形，然后证明BE=DE即可证得；
（2）连接BG交AC于点O，根据菱形的性质可证明BG⊥AC，根据三角形的面积公式求得BO的长，则BG即可求得，根据菱形的性质以及三线合一定理证明AE=EF=FC，根据菱形的面积公式求解；
（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCG是平行四边形，然后根据正方形的定义证得；
（4）根据（3）可得四边形ABCG是正方形，即可得到M与C重合．
解答 （1）证明：∵D，E分别为AB，AF的中点，
∴DE∥BF，DE=$\frac{1}{2}$BF，
又∵FG∥BE，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∵BF=2DE，且BE=2DE，
∴BF=BE，
∴四边形BEGF为菱形；
（2）解：连接BG，交AC于点O．
∵四边形BEGF是菱形，
∴EF⊥BG，且EO=FO，BG=2BO．
又∵AB=BC，
∴AO=CO，
∴AE=CF，
又∵E是AF的中点，
∴AE=EF=FC=$\frac{1}{3}$AC=2$\sqrt{2}$．
∵直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•$\frac{1}{2}$AC•BO，即$\frac{1}{2}$×6×6=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×BO，
解得：BO=3$\sqrt{2}$．
∴BG=2BO=6$\sqrt{2}$．
∴S四边形BEGF=$\frac{1}{2}$EF•BG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$=12；
（3）解：四边形ABCG是正方形．
理由是：∵AO=CO，BO=CO，
∴四边形ABCG是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG是正方形；
（4）解：∵四边形ABCG是正方形，
∴AC=BG，
则M点一定和C重合，N与E重合，
则AN=AE=2$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了菱形的判定与性质，以及正方形的判定与性质，证明AE=EF=FC是解决本题的关键．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
如图，∠AOB=120°，OA=2，求S阴影．
| A． | 10 | B． | 14 | C． | 16 | D． | 20 |
| 进价（元/台） | 售价（元/台） | |
| 电视机 | 5000 | 5500 |
| 洗衣机 | 2000 | 2160 |
| 空 调 | 2400 | 2700 |
（2）在（1）的条件下，如果不超出现有资金，空调的数量不超过电视机数量的三倍，请问商场有哪几种进货方案？
（3）在“2013年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动，根据（2）的方案，若三种电器在活动期间全部售出，商家预计最多送出消费券多少张？
如图，坐标系中，AB⊥x轴于A点，双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$过点B，反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$过C，D点且OD=BC，已知B（2，3），则D点坐标为（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．