Question

15．如图，AC是⊙O的直径，∠A=30°，AB交⊙O于D，CD=1，
（1）求AC的长；
（2）若BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理得出∠ADC=90°，再利用直角三角形的性质得出AC=2CD，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠B的度数，再利用切线的判定方法得出答案．

解答 （1）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵∠A=30°，CD=1，
∴AC=2CD=2；

（2）证明：由（1）知，在直角△BCD中，
∵BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=1，
∴sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
∴BC是⊙O 的切线．

点评 此题主要考查了切线的判定以及锐角三角函数关系，正确得出∠B的度数是解题关键．