Question

7．如图，顶点为M的抛物线y=ax²-x-3与x轴交于点A、B，过点B的直线与抛物线的对称轴相交于点C（2，4），点P是该抛物线在x轴下方部分上的一个动点，过点P的直线y=x+m分别与抛物线的对称轴、直线BC相交于点Q、D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当△DQM的面积等于△PQM面积时，求m的值；
（3）请求出PD+QD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式x=-$\frac{b}{2a}$即可解决问题．
（2）利用方程组求出点D坐标，再求出点Q坐标，根据中点坐标公式，可得点P坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）如图，作CG⊥y轴于G，PD的延长线交GC于E，作PF⊥CG于F．因为直线PD的解析式为y=x+m，直线BC的解析式为y=-x+6，可知BC⊥PE，△CQE，△CDQ，△CDE，△PFE都是等腰直角三角形，推出DQ=CD=DE，所以DQ+DP=DE+DP=PE，所以欲求DQ+DP的最大值，只要求PE的最大值，因为当PF最大时，PE最大，所以当点P与点M重合时，PF最大，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意抛物线的对称轴x=2，
∴-$\frac{-1}{2a}$=2，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．

（2）对于抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x-3，令y=0，得$\frac{1}{4}$x²-x-3=0，解得x=-2或6，
∴A（-2，0），B（6，0），
∵C（2，4），
∴直线BC的解析式为y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x+m}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6-m}{2}}\\{y=\frac{m+6}{2}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{6-m}{2}$，$\frac{m+6}{2}$），
∵Q（2，2+m），
∵△DQM的面积等于△PQM面积，
∴PQ=DQ，
∴P（$\frac{2+m}{2}$，$\frac{2+3m}{2}$），
把P（$\frac{2+m}{2}$，$\frac{2+3m}{2}$）代入y=$\frac{1}{4}$x²-x-3得$\frac{2+3m}{2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{2+m}{2}$）²-$\frac{2+m}{2}$-3，
整理得m²-28m-76=0，
解得m=14-4$\sqrt{17}$或14+4$\sqrt{17}$（舍弃），

（3）如图，作CG⊥y轴于G，PD的延长线交GC于E，作PF⊥CG于F．

∵直线PD的解析式为y=x+m，直线BC的解析式为y=-x+6，
∴BC⊥PE，△CQE，△CDQ，△CDE，△PFE都是等腰直角三角形，
∴DQ=CD=DE，
∴DQ+DP=DE+DP=PE，
∴欲求DQ+DP的最大值，只要求PE的最大值，
∵当PF最大时，PE最大，
∴当点P与点M重合时，PF最大，
∵C（2，4），M（2，-4），
∴PF的最大值为8，
∴PE的最大值为8$\sqrt{2}$，
∴DQ+DP的最大值为8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题的突破点是把求DQ+DP的最大值转化为求等腰直角三角形△EFP的斜边的最大值，属于中考压轴题．