Question

20．读下列材料：
方程：$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-3}$的解为1；
方程：$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-4}$的解为x=2；
方程$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-5}$的解为x=3…
（1）请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜想这个方程的解；
（2）利用（1）中所得的结论，写出一个解为x=2014分式方程．

Answer 1

分析 （1）根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案；
（2）根据规律，可得方程．

解答 解：（1）写出能反映上述方程的一般规律的方程：$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-5}$，
方程的解为x=3；
（2）出一个解为x=2014的分式方程如：$\frac{1}{2012-x}$-$\frac{1}{2013-x}$=$\frac{1}{2014-x}$-$\frac{1}{2015-x}$．

点评 本题考查了解分式方程，发现规律：$\frac{1}{（n+1）-x}$-$\frac{1}{（n+2）-x}$=$\frac{1}{（n-2）-x}$-$\frac{1}{（n-1）-x}$方程的解是x=n．