如图.在平面直角坐标系中.O是坐标原点.直线y=kx-1与x轴.y轴分别交于B.C两点.且OB=$\frac{1}{2}$OC.点A(x.y)是直线y=kx-1上的一个动点.连接OA．(1)求B点的坐标和k的值,(2)求△AOB的面积S与x之间的函数关系式,(3)探索:①当点A运动到什么位置时.△AOB的面积是$\frac{1}{4}$?②在①的情形下.y轴上是否存在一点P.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=kx-1（k＞0）与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OB=$\frac{1}{2}$OC，点A（x，y）是直线y=kx-1上的一个动点，连接OA．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）求△AOB的面积S与x之间的函数关系式；
（3）探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是$\frac{1}{4}$？
②在①的情形下，y轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）需根据OC=1求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值；
（2）利用把△AOB的面积表示出来，在根据S与x之间的关系代入整理；
（3）①利用（2）得出函数关系式即可得出点A的坐标；
②分三种情况讨论计算即可．

解答解：（1）2x²-3x+1=0，
（2x-1）（x-1）=0
2x-1=0，x-1=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=1，
∵OB＜OC，
∴点B（$\frac{1}{2}$，0）；
把点B代入y=kx-1得，$\frac{1}{2}$k-1=0，
解得：k=2，
（2）直线解析式为y=2x-1，
△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（2x-1）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$，
（3）①△AOB面积S=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$，
当S=$\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
解得：x=1，
此时y=1，
则点A的坐标为（1，1）；
②存在这样的点P．理由如下：
由②知，A的坐标是（1，1），则OA=$\sqrt{2}$．
如图，

i）当O是△AOP的顶角顶点时（OA=OP），P的坐标是（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$），
ii）当A是△AOP的顶角顶点时（AO=AP），P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（0，2）；
iii）当P是△AOP的顶角顶点时（PA=PO），设P（0，x），则
x=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$，
解得，x=1，
则P（0，1）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，1）．