Question

7．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH…，如此下去，则第2017个正方形的边长是（　　）

• A． ${（{\sqrt{2}}）^{2016}}$
• B． ${（{\sqrt{2}}）^{2017}}$
• C． $2016\sqrt{2}$
• D． $2017\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据正方形的对角线等于边长的$\sqrt{2}$倍依次求解，然后根据指数的变化求出第n个正方形的边长即可．

解答 解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴第二个正方形ACEF的边长AC=$\sqrt{2}$，
第三个正方形AEGH的边长AE=$\sqrt{2}$AC=（$\sqrt{2}$）²，
…，
第n个正方形的边长=（$\sqrt{2}$）^n-1．
∴第2017个正方形的边长是（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
故选A．

点评 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线等于边长的$\sqrt{2}$倍的性质，注意正方形的序数与指数的关系是解题的关键．