Question

11．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=4，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，可证得AE=$\frac{1}{2}$AD，即可求得∠ADE=30°，继而求得答案；
（2）首先连接BD，交AC于点O，易得AC⊥BD，由勾股定理可求出对角线AC，BD的长，再由S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC×BD，即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ADE=30°，∠DAE=60°，
∴∠ABC=180°-60°=120°；

（2）连接BD，交AC于点O，
在菱形ABCD中，∠DAE=60°，
∴∠CAE=30°，AB=4，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴BD=2OB=4
根据勾股定理可得：AO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
即AC=4$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题关键．