Question

9．将两块全等的直角三角形如图1摆放在一起，设较短直角边为1．现将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B₁C₁D₁的位置（如图2）．
（1）求证：四边形ABC₁D₁是平行四边形；
（2）当四边形ABC₁D₁为矩形时，求矩形ABC₁D₁的面积；
（3）当点B的移动距离为多少时，四边形ABC₁D₁为菱形．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABC₁D₁是平行四边形，只需推知：AB=C₁D₁，AB∥C₁D₁即可；
（2）只要∠BC₁D₁=90°，四边形ABC₁D₁即为矩形，所以求得Rt△BB₁C₁的面积即可易求矩形ABC₁D₁的面积；
（3）当点B的移动距离为$\sqrt{3}$时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC₁D₁为菱形．

解答 （1）证明：根据平移的性质得到：△ABD≌△CDB≌△C₁D₁B₁，
∴AB=C₁D₁．
又∵∠ABD=∠C₁D₁B=30°，
∴AB∥C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形；

（2）解：∵在移动过程中，四边形ABC₁D₁恒为平行四边形，
∴只要∠BC₁D₁=90°，四边形ABC₁D₁即为矩形，
此时在Rt△BB₁C₁中，B₁C₁=1，∠BB₁C₁=90°，∠B₁BC₁=60°，
∴BC₁=2BB₁，由勾股定理得，BC₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由已知得：AB=2，
∴S_矩形ABC1D1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（3）解：当四边形ABC₁D是菱形时，∠ABD₁=∠C₁BD₁=30°，
∵B₁C₁=1，
∴BB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
当点B的移动距离为$\sqrt{3}$时，四边形ABC₁D₁为菱形．

点评 此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质，注意：有一直角的平行四边形是矩形，菱形的每一条对角线平分一组对角．