Question

14．某书店要经营一种新上市的中考数学复习资料，进价为每本20元，试营销阶段发现每天的销售量y（本）与单价x（元/本）之间满足如表：

销售价格x（元/本）	…	25	30	35	40	…
销售量y（本）	…	250	200	150	100	…

（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y（本）与x（元/本）的函数解析式．
（2）写出书店销售这种中考数学复习资料，每天所得的销售利润W（元）与销售单价x（元/本）之间的函数解析式，并求出销售单价为多少时，该书店每天的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过26元；
方案B：每天销售量不少于50本，且每本资料的利润至少为18元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价；
（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．

解答 解：（1）以表中x、y的对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，发现y是x的一次函数，
设y=kx+b，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{25k+b=250}\\{40k+b=100}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=500}\end{array}\right.$．
所以y=-10x+500（0＜x≤50）；
（2）w=（x-20）（-10x+500）
=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w_最大=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）B方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤26，
故当x=26时，w有最大值，
此时w_A=1440；
B方案中：$\left\{\begin{array}{l}{-10x+500≥50}\\{x-20≥18}\end{array}\right.$，
故x的取值范围为：38≤x≤45，
∴当x=38时，w有最大值，
此时w_B=2160，
∵w_A＜w_B，
∴B方案利润更高．

点评 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-$\frac{b}{2a}$时取得．