Question

9．如图，矩形ABCD中，BC=2AB=3，DE=2EC，∠EAF=45°，则BF的长为0.75．

Answer 1

分析 先构造正方形ADQP，根据∠EAF=45°得到△GAE≌△GAH（SAS），进而得出HG=EG，设PG=x，则GH=1+x=GE，GQ=3-x，在Rt△EGQ中，根据EQ²+GQ²=GE²，可得方程2²+（3-x）²=（1+x）²，即可得出PG=1.5，最后根据BF∥PG，B为AP的中点，即可得到BF的长．

解答 解：如图所示，延长AB至P，使得BP=AB，延长DC至Q，使得CQ=DC，连接PQ，则四边形ADQP是正方形，
延长AF交PQ于G，连接GE，将△ADE绕着点A顺时针旋转90°得△APH，则H，P，G在同一直线上，AE=AH，
∵∠GAE=45°，∠DAP=90°，
∴∠PAH+∠PAG=∠DAE+∠PAG=45°，
∴∠GAE=∠GAH，
在△GAE和△GAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AH}\\{∠GAE=∠GAH}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△GAH（SAS），
∴HG=EG，
由题可得，DE=1=HP，EC=0.5，CQ=1.5，PQ=3，
设PG=x，则GH=1+x=GE，GQ=3-x，
在Rt△EGQ中，EQ²+GQ²=GE²，
即2²+（3-x）²=（1+x）²，
解得x=1.5，
∴PG=1.5，
∵BF∥PG，B为AP的中点，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{BF}{PG}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$PG=0.75，
故答案为：0.75

点评 本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及正方形，依据勾股定理列方程进行求解．