Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

•

1

2×3

=

1

2

-

1

3

•

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加，得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2014×2015

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：计算题

分析：（1）根据题意得出拆项规律，写出即可；
（2）利用拆项法把各式变形，计算即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

；
②原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2014

2015

；②

n

n+1

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．