Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD交于点O，E、F分别为OB、OC的中点．
（1）求证：∠ACB=∠DBC；
（2）若2AD=BC．求证：四边形AEFD为矩形．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,矩形的判定,梯形

专题：

分析：（1）要证：∠ACB=∠DBC由等腰梯形的判定定理知，由题意知AB=CD，所以∠ABC=∠DCB，又OB=OC，所以∠OBC=∠OCB即可得证．
（2）要证四边形AEFD为矩形，只需证其对角线相等且相互平分，然后利用平行线分线段成比例定理进行证明．

解答：证明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ACB=∠DBC；
（2）∵E、F分别为OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴OF=OA，EO=DO，
又OA=OD，
∴OF=OA=EO=DO，
∴四边形AEFD为矩形．

点评：本题将等腰梯形问题与矩形相结合，在考核学生梯形知识的同时又考查了矩形有关性质，学生在证明四边形为等腰梯形时，常直接找所需条件：同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略-关键要素：已经证明该四边形为梯形了吗，故需同学们多加注意．