Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，点A（5，0），以OA为半径作半圆O交x轴于点C，点B是该半圆上一动点，连结CB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作DE⊥x轴于点E，直线DE与BC交于点F，连结OF．
（1）当点E与点C重合时，①请在图2中画出图形，此时直线CD与⊙O的位置关系是CD与⊙O相切．②求线段AB的长．
（2）当点E与点O重合时（如图3所示），求点D的坐标．
（3）当点E的坐标为（1，0）时，求线段EF的长．
（4）如图4，在点B运动过程中，若点E位于O、C之间时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出CB是AD的垂直平分线，再由勾股定理计算即可；
（2）先求出∠DAO=60°，然后用锐角三角函数计算即可；
（3）先利用勾股定理计算出DE，在判断出△CEF∽△DEA，利用比例式计算；
（4）分两种情况计算①当∠EOF=∠A时，用$\frac{OF}{AD}=\frac{OE}{AE}$=$\frac{1}{4}$计算，②当∠EOF=∠ABC时，和前面方法也一样．

解答 解：（1）①作图如图2所示，

∵DE⊥x，AC为⊙O的直径，
∴直线CD与⊙O相切，
②∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA=90°，
∵DB=AB，
∴CB是AD的垂直平分线，
∴DC=AC=10，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+D{C}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∴AB=5$\sqrt{2}$；
（2）如图3，

点E，O重合时，点D落在y轴上，连接OB，
∵∠AOD=90°，DB=AB，
∴OB=$\frac{1}{2}$AD=AB=OA，
∴∠DAO=60°，
在Rt△AOD中，OD=OAtan∠DAO=5tan60°=5$\sqrt{3}$，
∴D（0，5$\sqrt{3}$），
（3）如图4，连接CD，

同（1）②的方法一样，可得CD=CA=10，
当点E坐标为（1，0）时，
CE=OC+OE=6，AE=OA-OE=4，
在Rt△CED中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
∵∠ACB=90°-∠CAB=∠ADE，∠CEF=∠DEA，
∴△CEF∽△DEA，
∴$\frac{EF}{EA}=\frac{CE}{DE}$，
∴$\frac{EF}{4}=\frac{6}{8}$，
∴EF=3；
（4）当∠EOF=∠A，则OF∥BD，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$BD，
∴$\frac{OF}{BD}=\frac{OE}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{-x}{5-x}=\frac{1}{4}$，
∴x=-$\frac{5}{3}$，
∴E（-$\frac{5}{3}$，0），
当∠EOF=∠ABC，同理可得x=-$\frac{5}{2}$，
∴E（-$\frac{5}{2}$，0）；
即：E（-$\frac{5}{3}$，0）或E（-$\frac{5}{2}$，0）；

点评 本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解．