Question

9．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．

（1）如图1，若正方形的边长为2$\sqrt{2}$，PB=1，求BG的长度；
（2）如图2，当P点为BC的中点时，求证：CE=$\sqrt{2}$BG；
（3）如图3，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN=$\sqrt{2}$AN．

Answer 1

分析 （1）先根据线段垂直平分线的性质，求得AB=BE=2$\sqrt{2}$，再根据勾股定理，求得Rt△ABP中，AP=3，最后根据△ABP的面积，求得BG的长；
（2）先过C作CH⊥AE于H，判定△BGP≌△CHP（AAS），根据全等三角形对应边相等以及等腰三角形的性质，得出△CEH为等腰直角三角形，进而得到CE=$\sqrt{2}$CH=$\sqrt{2}$BG；
（3）先过点D作DH⊥AE于H先判定△BGN为等腰直角三角形，得出BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，再判定△ADH≌△BAG（AAS），得出AH=BG=GN，DH=AG，进而得到HN=HG+GN=HG+AH=AG，DH=HN，再根据△DHN为等腰直角三角形，得出DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，最后得到BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

解答 （1）解：∵AG=GE，BG⊥AP，
∴AB=BE=2$\sqrt{2}$，
∵正方形ABCD中，∠ABP=90°，AB=2$\sqrt{2}$，PB=1，
∴Rt△ABP中，AP=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3，
∵△ABP的面积=$\frac{1}{2}$×AP×BG=$\frac{1}{2}$×AB×BP，
∴BG=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
（2）证明：如图2，过C作CH⊥AE于H，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP=∠CHP=90°，
∵P为BC的中点，
∴BP=CP，
在△BGP和△CHP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠CHP}&{\;}\\{∠BPG=∠CPH}&{\;}\\{BP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG=CH，∠GBP=∠PCH，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°，∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠GBP=∠BAG，
∴∠PCH=∠BEP，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠HCE=∠HEC，
∴CH=EH，
∵∠CHE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CH，即CE=$\sqrt{2}$BG；
（3）解：如图3，过点D作DH⊥AE于H
∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=∠EBN，
由（2）可知∠GBP=∠BEP，
∵BG⊥AE，
∴∠GBP+∠PBN=45°，即∠GBN=45°=∠GNB，
∴BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，
∵DH⊥AP，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠DAH+∠BAD=90°，
∴∠ADH=∠BAG，
在△ADH和△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠BAG}&{\;}\\{∠AHD=∠AGB}&{\;}\\{AD=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BAG（AAS），
∴AH=BG=GN，DH=AG，
∴HN=HG+GN=HG+AH=AG，
∴DH=HN，
∵∠DHN=90°，
∴DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，
∴BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．