Question

8．观察下列的变形及规律：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…
（1）若n为正整数，请你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）证明你的结论；
（3）利用上述规律计算：$\frac{1}{n（n+2）}$+$\frac{1}{（n+2）（n+4）}$+$\frac{1}{（n+4）（n+6）}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知数据分母的变化直接猜想得出即可；
（2）利用分式的加减运算法则化简得出即可；
（3）利用拆项法变形可得$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而可得$\frac{1}{（n+2）（n+4）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$），$\frac{1}{（n+4）（n+6）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+4}$-$\frac{1}{n+6}$），然后再计算即可．

解答 （1）解：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）证明：右边=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=左边，
所以猜想成立．

（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$+$\frac{1}{n+4}$-$\frac{1}{n+6}$），
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+6}$），
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+6-n}{n（n+6）}$，
=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{n（n+6）}$，
=$\frac{3}{n（n+6）}$．

点评 此题主要考查了分式的加减计算，关键是利用拆项法找出计算规律．