Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D按逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，已知$\frac{AD}{DB}$=4，求$\frac{AE}{EC}$的值．

Answer 1

分析 作DH⊥AC于H，由旋转的性质得出DE=DC，得出EH=CH，设$\frac{AE}{EC}$=n，即AE=nEC，因此AE=2nEH=2nCH，证明DH∥BC，得出△ADH∽△ABC，得出比例式$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AH}$，求出n的值，即可得出结果．

解答 解：作DH⊥AC于H，如图所示
∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，
∴DE=DC，
∴EH=CH，
设$\frac{AE}{EC}$=n，即AE=nEC，
∴AE=2nEH=2nCH，
∵∠C=90°，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AH}$，
∵$\frac{AD}{DB}$=4，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{AC}{AH}$=$\frac{5}{4}$，即$\frac{AE+EC}{AE+EH}$=$\frac{2nCH+2CH}{2nCH+CH}$=$\frac{5}{4}$，
解得：n=1.5，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．