Question

在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，0），过点B作AB⊥x轴，交y=

m

x

（m＞0）的图象于点A，点P为y轴正半轴上动点，点P的纵坐标为n，以PA、PB为边作?APBC．
（1）当

m

2

＞n时，求点C的纵坐标（用含m、n的代数式表示）；
（2）当n=3时，若点C恰好落在x轴上，求m的值；
（3）当点P运动时，是否存在一个内角为60°的菱形APBC？若存在，求出所有满足条件的m、n的值，并判断点C是否在y=

m

x

（m＞0）的图象上；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过点P作PD⊥AB于D，过点C作CE⊥AB于E，易证四边形OPDB是矩形，从而有OP=BD，OB=PD；易证△ADP≌△BEC，则有AD=BE，由x_A=x_B=2可用m表示出AB，就可用m、n表示出AD即BE的长，问题得以解决．
（2）由条件可得到点A的坐标，代入反比例函数的解析式就可求出m的值．
（3）可分∠APB=60°和∠PAC=60°两种情况讨论，然后运用菱形的性质及勾股定理等知识就可解决问题．

解答：解：（1）过点P作PD⊥AB于D，过点C作CE⊥AB于E，如图1．

则有∠ADP=∠BEC=90°，∠POB=∠OBD=∠PDB=90°，
∴四边形OPDB是矩形，
∴OP=BD，OB=PD．
∵四边形APBC是平行四边形，
∴AP=BC，AP∥BC，
∴∠PAB=∠CBA．
在△ADP和△BEC中，

∠PAB=∠CBA ∠ADP=∠BEC AP=BC

，
∴△ADP≌△BEC，
∴AD=BE．
∵点A在函数y=

m

x

图象上，x_A=x_B=2，
∴y_A=

m

2

即AB=

m

2

，
∴BE=AD=AB-BD=AB-OP=

m

2

-n，
∴点C的纵坐标为

m

2

-n．

（2）当点C恰好落在x轴上时，如图2．

∵四边形APBC是平行四边形，
∴AP∥BC，
∴AB=OP=3，
∴点A的坐标为（2，3）．
∵点A在函数y=

m

x

图象上，
∴m=2×3=6．
∴m的值为6．

（3）连接PC交AB于点H．
①若∠APB=60°，如图3．

∵四边形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴PB=AB=2BH，
∴PH=

PB2-BH2

=

3

BH．
∵PH=OB=2，
∴

3

BH=2，
∴BH=

2 3

3

，
∴n=OP=BH=

2 3

3

，点A的坐标为（2，

4 3

3

）．
∵点A在函数y=

m

x

图象上，
∴m=2×

4 3

3

=

8 3

3

．
此时点C的坐标为（4，

2 3

3

）．
∵4×

2 3

3

=

8 3

3

=m，
∴点C在y=

m

x

（m＞0）的图象上．
②若∠PAC=60°，如图4．

同理可得：m=8

3

，n=2

3

，
点C的坐标为（4，2

3

），在y=

m

x

（m＞0）的图象上．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．