Question

如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY相切于点B，交射线OX于点C，过点C作CD⊥BC，CD交AY于点D．

（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一点，AP=4，且sinA=

3

5

．如图2，当点D与点P重合时，求R的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据切线的性质得到∠ABO=90°，易证∠ABC=∠ACD，从而根据两个角对应相等得到两个三角形相似；
（2）根据（1）中的相似三角形得到对应边的比相等，再结合锐角三角函数的概念，把AD用R表示，根据AD=AP求得R的值．

解答：（1）证明：如图1，连接OB，
∵CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又∵在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：如图2，连接OB，
∵sinA=

3

5

，OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=

OB

sinA

=

R

3 5

=

5

3

R，AB=

( 5 3 R)2+R2

=

4

3

R．
∴AC=

5

3

R+R=

8

3

R．
∵△ABC∽△ACD，
∴

AC

AB

=

AD

AC

．
∴

8 3 R

4 3 R

=

AD

8 3 R

．
∴AD=

16

3

R．
∵当点D与点P重合时，AD=AP=4，
∴

16

3

R=4．
∴R=

3

4

．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．