Question

正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF切⊙O于点E，交AD于点F，且切点E在正方形的内部，AE、BE的长是x²-3x+m=0的两实根，令n=AB²．
①求n与m函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
②求m的值和AF的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：①根据根与系数的关系得AE+BE=3，AE•BE=m，再根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AEB=90°，则根据勾股定理得AB²=AE²+BE²，利用完全平方公式变形得到AB²=（AE+BE）²-2AE•BE，所以n=9-2m，根据判别式的意义和方程的根为正根得0＜m＜

9

4

，而由n=AB²=9-2m＞0得到m＜

9

2

，于是得到n与m函数关系式为n=9-2m（0＜m＜

9

4

）；
②连接OC，交BE于M，易得BC为⊙O的切线，根据切线长定理得∠ECO=∠BCO，CE=CB，则可判断OM垂直平分BE，所以OM⊥BE、EM=BM，再证明OM是△ABE的中位线，得到AE=2OM，然后证明△AEB≌△BMC，得到AE=BM，则BM=2OM=4OM，设OM=x，则AE=BM=2x，BE=4x，利用AE+BE=3得2x+4x=3，解得x=

1

2

，则AE=1，BE=2，m=AE•BE=2，n=9-2m=5，所以AB=

5

，同理得到AF为⊙O的切线，得FA=FE，设AF=y，则DF=

5

-y，EF=y，CF=CE+EF=

5

+y，在Rt△CDF中，根据勾股定理得到（

5

-y）²+（

5

）²=（

5

+y）²，最后解方程即可．

解答：解：①∵AE，BE的长是方程x²-3x+m=0两个实根，
∴AE+BE=3，AE•BE=m，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AB²=AE²+BE²，
∴AB²=（AE+BE）²-2AE•BE=9-2m，
而n=AB²，
∴n=9-2m，
∵AE≠BE，
∴△=9-4m＞0且m＞0，
∴0＜m＜

9

4

，
又∵n=AB²＞0，即9-2m＞0
∴m＜

9

2

，
∴n与m函数关系式为n=9-2m（0＜m＜

9

4

）；
②连接OC，交BE于M，如图，
∵∠ABC=90°，
∴BC为⊙O的切线，
∵CE为⊙O的切线，
∴∠ECO=∠BCO，CE=CB，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中点，
∴OM是△ABE的中位线，即AE=2OM，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△BMC中

∠2=∠1 ∠AEB=∠BMC AB=BC

，
∴△AEB≌△BMC（AAS），
∴AE=BM，
∴BM=2OM，
∴BE=4OM，
设OM=x，则AE=BM=2x，BE=4x，
∵AE+BE=3，
∴2x+4x=3，解得x=

1

2

，
∴AE=1，BE=2，m=AE•BE=2，
∴n=9-2m=5，
∴AB=

5

，
∵∠BAD=90°，
∴AF为⊙O的切线，
∴FA=FE，
设AF=y，则DF=

5

-y，EF=y，CF=CE+EF=

5

+y，
在Rt△CDF中，
∵DF²+CD²=CF²，
∴（

5

-y）²+（

5

）²=（

5

+y）²，解得y=

5

4

，
即AF的长为

5

4

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质和切线的长定理；会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解一元二次方程根的判别式的意义和根与系数的关系；会运用勾股定理进行几何计算．