Question

1．已知：抛物线y=-x²+bx+c的图象交y轴于C，交x轴交于A、B两点，抛物线经过点D（4，5），C、D两点关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E在抛物线y=-x²+bx+c上，EF⊥BC于点F，若点M（m，-m+2）是坐标平面内一点，且ME=MF，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E在对称轴的左侧，点K在过点D且与y轴平行的直线上，连接EK、FK，当∠EKF=45°，求点K的坐标；是否存在点M满足ME=MK？若存在，请判断点M是否在（1）中的抛物线的对称轴上，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由对称性得点C的坐标和对称轴为x=2，求出b和c，写出抛物线解析式；
（2）先求直线BC的解析式：y=-x+5，根据点M的坐标发现，点M所在的直线y=-x+2与直线BC平行，且过对称轴与x轴的交点H，利用两三角形全等列方程组求解；
（3）先判断出点F既在直线BC上又在抛物线对称轴上，从而得出∠EKF=$\frac{1}{2}$∠ENF，判断出点E，F，K在以点N为圆心3为半径的圆上，最后进行计算即可．

解答 解：（1）∵点C在y轴上，点D为（4，5），且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
∴C（0，5），
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{-1×2}$=2，
∴b=4．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．
（2）令y=-x²+4x+5中y=0，则-x²+4x+5=-（x+1）（x-5）=0，
解得：x=-1，或x=5，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（5，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+5，
∴0=5k+5，解得k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
设点E的坐标为（a，-a²+4a+5），点F的坐标为（n，-n+5），
如图1，

分别过E和F向两坐标轴作垂线，垂足分别为Q、N，交抛物线对称轴为G，设抛物线对称轴与x轴交于点H，
∵点M（m，-m+2）
∴MH∥BC且直线MH的解析式为：y=-x+2
∵ME=MF
∴EH=FH
得△FGH≌△EGH
∴EQ=FH，QH=GH
则 $\left\{\begin{array}{l}{2-n=-{a}^{2}+4a+5}\\{-n+5=-a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=6}\\{{n}_{1}=9}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{n}_{2}=2}\end{array}\right.$．
当a=6时，-a²+4a+5=-7，
∴E（6，-7）
当a=-1时，-a²+4a+5=0
∴E（-1，0）
∴E（6，-7）或E（-1，0），
（3）由（1）有，抛物线的对称轴为x=2，
∵点E在对称轴的左侧，
∴E（-1，0），即点E与点A重合，
由（2）有，F（2，3），
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴点F在抛物线的对称轴上，
∴NF=NE=3，
∴∠ENF=90°，
∵∠EKF=45°，
∴∠EKF=$\frac{1}{2}$∠ENF，
又∵NF=NE=3，
∴点K必在以点N为圆心，3为半径圆上，
∴NK=3，
如图2所示，

∵点K在过点D且与y轴平行的直线上，D（4，5），
∴K点的横坐标为4，
连接NK，
在Rt△NGK中，NG=OG-ON=4-2=2，NK=3，
∴GK=$\sqrt{N{K}^{2}-N{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠EKF=45°，
∴K（4，-$\sqrt{5}$），
假设存在点M满足ME=MK，
∵ME=MF，
∴ME=MF=MK，
∴点M是△EFK的外接圆的圆心，
∴点M和点N重合，
∵点N在抛物线的对称轴x=2上，
∴点M在抛物线的对称轴上，M（2，0）
即：存在点M满足ME=MK，并且在抛物线的对称轴上．

点评 此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式，抛物线对称轴的确定，三角形全等的判定和性质，函数图象的交点坐标的确定等知识点．解本题的关键用方程的思想求出点的坐标．