Question

19．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，
（1）求证：CF=2AF；
（2）求tan∠CFD的值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）作DH⊥AC于H，证出DH∥BE，得出比例式AF：FH=AE：ED=1：1，AF=FH=HC，设AF=a，则AH=2a，CH=a，证明△ADH∽△DCH，得出对应边成比例求出DH=$\sqrt{2}$a，再由三角函数定义即可得出答案．

解答 （1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴BC=2AE，△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC=1：2，
∴CF=2AF；

（2）解：作DH⊥AC于H，如图所示：
∵BE⊥AC，
∴DH∥BE，
∴AF：FH=AE：ED=1：1，
∴AF=FH=HC，
设AF=a，则AH=2a，CH=a，
∵∠DAH=∠CDH=90°-∠ADH，∠AHD=∠DHC=90°，
∴△ADH∽△DCH，
∴$\frac{DH}{HC}=\frac{AH}{DH}$，即$\frac{DH}{a}=\frac{2a}{DH}$，
解得：DH=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CFD=$\frac{DH}{FH}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．