Question

10．抛物线y=x²+2mx+$\frac{{m}^{2}}{4}$（m＜0）的顶点为P，抛物线与x轴的交点为A、B，当△PAB是等边三角形时，m的值为-2．

Answer 1

分析 先求出点P、A、B的坐标，然后求出点P到x轴的距离，AB之间的距离，根据等边三角形的性质列出方程即可求出m的值．

解答 解：令y=0代入y=x²+2mx+$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∴x²+2mx+$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，
∴x=-m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m或x=-m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，（m＜0）
∴AB=-$\sqrt{3}$m
抛物线的对称轴为x=-m，
∴令x=-m，
∴y=m²-2m²+$\frac{{m}^{2}}{4}$=-$\frac{3}{4}{m}^{2}$
∴点P到x轴的距离为：$\frac{3}{4}$m²，
∴$\frac{3}{4}$m²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m×$\sqrt{3}$，
∴m=-2，
故答案为：-2

点评 本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键求出A、B、P的坐标然后根据等边三角形的性质列出方程求出m的值，本题属于中等题型．