Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，BD切⊙O于B，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB=DE
（1）求证：$\widehat{AM}$=$\widehat{AC}$；
（2）若$\frac{CM}{MD}$=$\frac{16}{9}$，求tan∠ABM的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠DBE=∠DEB，由BC为⊙O的直径，得到∠BMC=90°，由于BD切⊙O于B，得到∠CBD=90°，于是得到结论；
（2）根据已知条件设DM=9k，CK=16k，根据射影定理得到BD²=DM•CD=9k•25k，BM²=DM•CM=9k•16k，求得BD=15k，BM=12k，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BMC=90°，
∵BD切⊙O于B，
∴∠CBD=90°，
∴∠DBE+∠CBE=∠BEM+∠MBC=90°，
∴∠ABM=∠ABC，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{AC}$；

（2）解：∵$\frac{CM}{MD}$=$\frac{16}{9}$，
∴设DM=9k，CK=16k，
∵∠BCD=∠BMC=90°，
∴BD²=DM•CD=9k•25k，BM²=DM•CM=9k•16k，
∴BD=15k，BM=12k，
∴DE=BD=15k，
∴ME=6k，
∴tan∠ABM=$\frac{ME}{BM}$=$\frac{6k}{12k}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．