Question

5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，过C点的切线交AB的延长线于P，过P点作PF∥CD交CB的延长线于F．
（1）求证：PC=PF；
（2）当PO=5，BF=2$\sqrt{5}$时，求⊙O的半径和CB的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，OC，由PC是⊙O的切线，得到∠PCO=90°，于是得到∠PCF=90°-∠OCB，由于OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC=∠PBF，根据PF∥CD得到∠FPB=90°，于是得到∠F=∠PCB，即可得到结论；
（2）设半径为r，则有PB=5-r，由（1）知：PC=PF，在直角三角形PBF和直角三角形OCP中根据勾股定理得到PB²=FB²-PF²=FB²-PC²，PC²=PO²-OC²=5²-r²，得到方程（5-r）²=（2$\sqrt{5}$）²-（5²-r²）求得r=3，通过△ABC∽△FBP，得到比例式即可得到结果．

解答 （1）证明：连接AC，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCF=90°-∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=∠PBF，
∵PF∥CD，
∴∠FPB=90°，
∴∠F=90°-∠PBF=90°-∠OCB，
∴∠F=∠PCB，
∴PC=PF；

（2）解：设半径为r，则有PB=5-r，
由（1）知：PC=PF，
∵∠FPB=90°，
∴PB²=FB²-PF²=FB²-PC²，
∵PC²=PO²-OC²=5²-r²，
∴（5-r）²=（2$\sqrt{5}$）²-（5²-r²）
解得：r=3，
∵∠ACB=∠BPF=90°，∠ABC=∠FBP，
∴△ABC∽△FBP，
∴$\frac{AB}{FB}=\frac{CB}{PB}$，即$\frac{6}{2\sqrt{5}}=\frac{BC}{5-3}$，
解得；CB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．