Question

10．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离出发地的距离y_甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）它们出发$\frac{9}{2}$小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y_乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．

Answer 1

分析 （1）由图知，该函数关系在不同的时间里表现成不同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行使时间大于3小时小于$\frac{27}{4}$小时是一次函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式．
（2）4.5小时大于3小时，代入一次函数关系式，计算出乙车在用了$\frac{9}{2}$小时行使的距离．从图象可看出求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间是正比例函数关系，用待定系数法可求解．
（3）两者相向而行，相遇时甲、乙两车行使的距离之和为300千米，列出方程解答，由题意有两次相遇．

解答 解：（1）当0≤x≤3时，是正比例函数，设为y=kx，
x=3时，y=300，代入解得k=100，所以y=100x；
当3＜x≤$\frac{27}{4}$时，是一次函数，设为y=kx+b，
代入两点（3，300）、（$\frac{27}{4}$，0），得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=300}\\{\frac{27}{4}k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-80}\\{b=540}\end{array}\right.$，
所以y=540-80x．
综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式 为：y=$\left\{\begin{array}{l}{100x（0≤x≤3）}\\{540-80x（3＜x≤\frac{27}{4}）}\end{array}\right.$．
（2）当x=$\frac{9}{2}$时，y甲=540-80×$\frac{9}{2}$=180；
乙车过点（$\frac{9}{2}$，180），y乙=40x．（0≤x≤$\frac{15}{2}$）
（3）由题意有两次相遇．
①当0≤x≤3，100x+40x=300，解得x=$\frac{15}{7}$；
②当3＜x≤$\frac{27}{4}$时，（540-80x）+40x=300，解得x=6．
综上所述，两车第一次相遇时间为第$\frac{15}{7}$小时，第二次相遇时间为第6小时．

点评 本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．此题中需注意的是相向而行时相遇的问题．