拓展学习片段展示:[问题]如图①.在平面直角坐标系中.抛物线y=a(x-2)2-$\frac{4}{3}$经过原点O.与x轴的另一个交点为A.则a=$\frac{1}{3}$．[操作]将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方.将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G.如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．[探究]在图� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）²-$\frac{4}{3}$经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=$\frac{1}{3}$．
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

分析【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；
【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；
【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；
【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；
分三部分进行讨论：
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，$\frac{1}{3}（m-2）^{2}-\frac{4}{3}$]，根据h≥1，列不等式解出即可；
②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；
③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．

解答解：【问题】
∵抛物线y=a（x-2）²-$\frac{4}{3}$经过原点O，
∴0=a（0-2）²-$\frac{4}{3}$，
a=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$；

【操作】：如图①，抛物线：y=$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$，
对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），
沿x轴折叠后所得抛物线为：y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$
如图②，图象G对应的函数解析式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（x-2）^{2}-\frac{4}{3}（x≤0或x≥4）}\\{-\frac{1}{3}（x-2）^{2}+\frac{4}{3}（0＜x＜4）}\end{array}\right.$；

【探究】：如图③，由题意得：
当y=1时，$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$=1，
解得：x₁=2+$\sqrt{7}$，x₂=2-$\sqrt{7}$，
∴C（2-$\sqrt{7}$，1），F（2+$\sqrt{7}$，1），
当y=1时，-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$=1，
解得：x₁=3，x₂=1，
∴D（1，1），E（3，1），
由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+$\sqrt{7}$时，函数y随x增大而增大；

【应用】：∵D（1，1），E（3，1），
∴DE=3-1=2，
∵S_△PDE=$\frac{1}{2}$DE•h≥1，
∴h≥1；
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，$\frac{1}{3}（m-2）^{2}-\frac{4}{3}$]，
∴h=$\frac{1}{3}$（m-2）²-$\frac{4}{3}$-1≥1，
（m-2）²≥10，
m-2≥$\sqrt{10}$或m-2≤-$\sqrt{10}$，
m≥2+$\sqrt{10}$或m≤2-$\sqrt{10}$，
②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，
∵H（2，$\frac{4}{3}$），
∴HM=$\frac{4}{3}$-1=$\frac{1}{3}$＜1，
∴点P不可能在DE的上方；
③∵MN=1，
且O（0，0），A（4，0），
∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上，
∴P与O或A重合时，符合条件，
∴m=0或m=4；
综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2-$\sqrt{10}$或m≥2+$\sqrt{10}$．