题目内容
已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∥AB交边AC于点F，EG∥AC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF=BH．
考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：先延长AD至A′，使DA′=AD，连接A′B，A′C，得出A′C∥AB，A′C=AB，再证出HF∥A′C，得出
=
，再根据平行线分线段成比例定理得出
=
，HF∥BG且GF=BH，从而证出四边形BGFH为平行四边形，即可得出答案．
| HF |
| A′C |
| AF |
| AC |
| EG |
| A′C |
| BH |
| BA |
解答：证明：延长AD至A′，使DA′=AD，连接A′B，A′C，
∵BD=CD，
∴四边形ABA′C为平行四边形，
∴A′C∥AB，A′C=AB，
∵HF∥A′C，
∴
=
，
又∵HF∥AB，EG∥AC，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
∵A′C=AB，
∴HF=BG，
∴BG∥HF且BG=HF，
∴四边形BGFH为平行四边形，
∴GF=BH．
∵BD=CD，
∴四边形ABA′C为平行四边形，
∴A′C∥AB，A′C=AB，
∵HF∥A′C，
∴
| HF |
| A′C |
| AF |
| AC |
又∵HF∥AB，EG∥AC，
∴
| AF |
| AC |
| BE |
| BC |
| BE |
| BC |
| BG |
| AB |
∴
| HF |
| A′C |
| BG |
| AB |
∵A′C=AB，
∴HF=BG，
∴BG∥HF且BG=HF，
∴四边形BGFH为平行四边形，
∴GF=BH．
点评：点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，构造平行四边形．
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