Question

10．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．
（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC²=AF•BE；
（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△ACF∽△BEC，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
（2）由于∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，从而可证明△ACF∽△BEC，利用相似三角形的性质即可求出AF的长度，从而可求出BF的长度．

解答 解：（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠B
∵∠BEC=∠ACE+∠A
∠ACF=∠ACE+∠ECF，
∴∠ACF=∠BEC
∴△ACF∽△BEC
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BC}$
∴AC²=AF•BE
（2）∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF，
∵∠3=∠ACB-∠1，∠F=∠ABC-∠2，
∠1=∠2，
∴∠3=∠F，
∵∠ABC=∠A，
∴△ACF∽△BEC
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{BE}{BC}$
∴AF=$\frac{16}{3}$
∴BF=AF-AB=$\frac{4}{3}$

点评 本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础中等题型．