Question

18．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y=x，y=-x均是“闭函数”（如图所示）．已知：y=ax²+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1）．

（1）请说明a、c的数量关系并确定b的取值；
（2）请你确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A、BB的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）代入得出抛物线表达式为y=ax²-x-a（a≠0），得出对称轴为$x=\frac{1}{2a}$，再进行判断即可；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）和点B（-1，1），
∴a+b+c=-1 ①a-b+c=1 ②
①+②得：a+c=0   即a与c互为相反数，
①-②得：b=-1；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=ax²-x-a（a≠0），
∴对称轴为$x=\frac{1}{2a}$，
当a＜0时，抛物线开口向下，且$x=\frac{1}{2a}$＜0，
∵抛物线y=ax²-x-a（a≠0）经过点A（1，-1）和点B（-1，1），
画图可知，当$\frac{1}{2a}$≤-1时符合题意，此时-$\frac{1}{2}$≤a＜0，
当-1＜$\frac{1}{2a}$＜0时，图象不符合-1≤y≤1的要求，舍去，
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且$x=\frac{1}{2a}$＞0，
画图可知，当$\frac{1}{2a}$≥1时符合题意，此时0＜a≤$\frac{1}{2}$，
当0＜$\frac{1}{2a}$＜1时，图象不符合-1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是-$\frac{1}{2}$≤a＜0或0＜a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，能灵活运用性质和已知函数的新定义求解是解此题的关键．