Question

1．如图，抛物线y=a（x-2）²-1过点C（4，3），交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
（2）连接OC，CM，求tan∠OCM的值；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当∠CPB=∠PMB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理及逆定理，可得∠OMC=90°，根据正切函数，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得PM的值，可得M点坐标．

解答 解：（1）由抛物线y=a（x-2）²-1过点C（4，3），得
3=a（4-2）²-1，解得a=1，
抛物线的解析式为y=（x-2）²-1，顶点M的坐标为（2，-1）；
（2）如图1，
连接OM，OC²=3²+4²=25，OM²=2²+1²=5，CM²=2²+4²=20，
∴CM²+OM²=OC²，∴∠OMC=90°，
OM=$\sqrt{5}$，CM=2$\sqrt{5}$，
tan∠OCM=$\frac{OM}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）如图2，
过C作CN⊥对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E，使EN=CN=2，连接CE，EM=6．
当y=0时，（x-2）²-1=0，解得的x₁=1，x₂=3，A（1，0），B（3，0）．
∵CN=EN，∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°，
∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM，
∴∠EPC=∠PBM
∴△CEP∽△PMB，
∴$\frac{EP}{MB}$=$\frac{CE}{PM}$，解得MB=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{6-PM}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PM}$，解得PM=3$±\sqrt{5}$，
P点坐标为（2，2+$\sqrt{5}$）或（2，2-$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定与性质得出PM的值是解题关键．