题目内容

10．在四边形ABCD中，AC∥BD，AB=13cm，AC=14cm，CD=15cm，BD=28cm．在直线BD上，动点P从B点出发向右运动，同时，另一个动点Q从D点出发向左运动．
（1）已知：动点P、Q的速度分别是1cm/s和2cm/s．求：运动多长时间后，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？（写出求解过程）
（2）若以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形，求：P、Q两点运动速度之比．（不写求解过程）VP：VQ=5：9或19：23．
（3）若以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是菱形，求：P、Q两点运动速度之比．（不写求解过程，结果可以不化简）VP：VQ=（5+2$\sqrt{13}$）：（9-2$\sqrt{13}$）或VP：VQ=（19+2$\sqrt{13}$）：（23-2$\sqrt{13}$），．

分析 （1）如图1中，当AC=PQ时，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，列出方程即可解决问题．
（2）如图2中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F，分两种情形讨论即可．
（3）如图3中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F当AP=AC=PQ时，四边形APQC是菱形，由（2）可知，AE=CD=15，AD=12，BD=5，分两种情形列出方程解决．

解答 解：（1）如图1中，当AC=PQ时，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形

由题意：28-t-2t=14或2t+t-28=14，
∴t=$\frac{14}{3}$或14，
∴运动$\frac{14}{3}$ 或14秒时间后，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．

（2）如图2中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F．

∵AC∥ED，AE∥CD，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=CD=15，设BD为x，则AB2-BH2=AE2-HE2，
∴132-x2=152-（14-x）2，
解得x=5，
∴AH=12，BH=5，HE=9，
在RT△CFD中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=9，
①当点P运动到点D、点Q运动到点F时，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形，
∴VP：VQ=BH：DF=5：9，
②当点P运动到点F、点Q运动到点D时，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形，
∴VP：VQ=BF：DH=19：23．
故答案分别为5：9或19：23．

（3）如图3中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F．



当AP=AC=PQ时，四边形APQC是菱形，由（2）可知，AE=CD=15，AD=12，BD=5，
∵AC=AP=14，
∴DP=$\sqrt{1{4}^{2}-1{2}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴BP=5+2$\sqrt{13}$，DQ=14-5-2$\sqrt{2}$=9-2$\sqrt{3}$，
∴VP：VQ=BP：DQ=（5+2$\sqrt{13}$）：（9-2$\sqrt{13}$）或VP：VQ=（19+2$\sqrt{13}$）：（23-2$\sqrt{13}$），
故答案为=（5+2$\sqrt{13}$）：（9-2$\sqrt{13}$）或VP：VQ=（19+2$\sqrt{13}$）：（23-2$\sqrt{13}$），

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理等知识，了、题的关键是添加辅助线构造相似三角形解决问题，所以中考常考题型．

练习册系列答案
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