小明作生成“中点四边形的数学游戏.具体步骤如下:(1)任画两条线段AB.CD.且AB与CD交于点O.O与A.B.C.D任意一点均不重合．连结AC.BC.BD.AD.得到四边形ACBD,(2)分别作出AC.CB.BD.DA的中点A1.B1.C1.D1.这样就得到一个“中点四边形．①若AB⊥CD.则四边形A1B1C1D1的形状一定是矩形.这样作图的依据是三角形中位线定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．小明作生成“中点四边形”的数学游戏，具体步骤如下：
（1）任画两条线段AB、CD，且AB与CD交于点O，O与A、B、C、D任意一点均不重合．连结AC、BC、BD、AD，得到四边形ACBD；
（2）分别作出AC、CB、BD、DA的中点A₁，B₁，C₁，D₁，这样就得到一个“中点四边形”．
①若AB⊥CD，则四边形A₁B₁C₁D₁的形状一定是矩形，这样作图的依据是三角形中位线定理，平行四边形的定义（或判定定理），矩形的定义（或判定定理）．
②请你再给出一个AB与CD之间的关系，并写出在该条件下得到的“中点四边形”A₁B₁C₁D₁的形状菱形．

分析 ①利用三角形中位线定理以及平行四边形的判定方法、矩形的判定方法进而得出答案；
②利用三角形中位线定理以及平行四边形的判定方法、菱形的判定方法进而得出答案．

解答解：①四边形A₁B₁C₁D₁的形状一定是：矩形，
理由：如图1，∵AC、CB、BD、DA的中点分别为：A₁，B₁，C₁，D₁，
∴A₁B₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，C₁D₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，B₁C₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，
∵AB⊥DC，
∴∠1=∠2=90°，
∴平行四边形A₁B₁C₁D₁是矩形．
这样作图的依据是：三角形中位线定理，平行四边形的定义（或判定定理），矩形的定义（或判定定理）；

②当AB=CD，“中点四边形”A₁B₁C₁D₁是菱形，
理由：如图2，∵AC、CB、BD、DA的中点分别为：A₁，B₁，C₁，D₁，
∴A₁B₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，C₁D₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，B₁C₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，
∵AB=DC，
∴A₁B₁=B₁C₁，
∴平行四边形A₁B₁C₁D₁是菱形．
故答案为：菱形．