Question

2．如图，AC是矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E．
（1）当AD=10.4cm时，BC=10.4 cm；
（2）当∠CAD=32°时，求∠CDE的度数；
（3）当AE：EC=3：1，且DC=6cm时，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）依据矩形的对边相等求解即可；
（2）依据同角的余角相等求解即可；
（3）设EC=x，则AE=3x，AC=4x，然后证明△DEC∽△ADC，最后依据相似三角形的性质列方出求解即可．

解答 解：（1）∵ABCD是矩形，
∴DC=AD=10.4cm．
故答案为：10.4．
（2）∵ABCE为矩形，
∴∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠ACD=90°．
∵DE⊥AC，
∴∠CDE+∠ACD=90°．
∴∠CDE=∠CAD=32°．
（3）∵∠CDE=∠CAD，∠ACD=∠DCE，
∴△DEC∽△ADC．
设EC=x，则AE=3x，AC=4x．则$\frac{DC}{EC}=\frac{AC}{DC}$，即$\frac{6}{x}=\frac{4x}{6}$，解得：x=3．
∴AC=12cm．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的性质和判定，得到关于x的方程是解题的关键．