Question

12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BF⊥CD，AD=10cm，AF=30cm．
         ①求BD的长；
         ②直接写出四边形ABCF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）①根据对角线互相垂直的四边形是菱形可得四边形BDFC是菱形，可求BD的长；
 ②再根据勾股定理可求AB的长，根据周长的定义可求四边形ABCF的周长．

解答 （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}\\{∠BEC=∠FED}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①∵BF⊥CD，四边形BDFC是平行四边形，
∴四边形BDFC是菱形，
∵AD=10cm，AF=30cm，
∴DF=30-10=20cm，
∴BD=BC=CF=DF=20cm，
②∵在Rt△BAD中，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=10$\sqrt{3}$cm，
∴四边形ABCF的周长是30+20×2+10$\sqrt{3}$=70+10$\sqrt{3}$（cm）．
故四边形ABCF的周长是（70+10$\sqrt{3}$）cm．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．