Question

3．如图，已知∠ABC=90°，△ABD是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，作∠PAE=60°，使AE=AP．连结ED并延长交射线BC于点F．

（1）如图①，当点P运动到使AP在∠BAD内部时，求∠ADE与∠EFC的度数；
（2）如图②，当点P运动到使AP在∠BAD外部时，图中∠ADE与∠EFC的度数发生变化吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△PAB≌△EAD，可得∠ADE=∠ABP，由∠ABC=90°，推出∠ADE=90°，在四边形ABFD中，∠BFD=360°-∠BAD-∠ABF-∠ADF=120°，由此即可求出∠EFC．
（2）∠ADE与∠EFC的度数不发生变化．证明方法类似（1）．

解答 解：（1）如图①中，

∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAP=60°，
∴∠PAB=∠EAD，
在△PAB和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=AE}\\{∠PAB=∠EAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△EAD，
∴∠ADE=∠ABP，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADE=90°，
在四边形ABFD中，∠BFD=360°-∠BAD-∠ABF-∠ADF=120°，
∴∠EFC=180°-∠BFD=60°．

（2）如图②中，∠ADE与∠EFC的度数不发生变化，理由如下，

∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAP=60°，
∴∠PAB=∠EAD，
在△PAB和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=AE}\\{∠PAB=∠EAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△EAD，
∴∠ADE=∠ABP，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADE=90°，
在四边形ABFD中，∠BFD=360°-∠BAD-∠ABF-∠ADF=120°，
∴∠EFC=180°-∠BFD=60°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．