Question

7．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=p+q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p、q两数的乘积最大，我们就称p+q是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=pq．例如6可以分解成1+5，2+4，或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．
（1）求F（11）的值；
（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数被2除余1，前三位数被3除余2，前四位数被4除余3，…，一直到前N位数被N除余（N-1），我们称这样的数为“多余数”，如：236的第一位数2能被1整除，前两位数23被2除余1，236被3除余2，则236是一个“多余数”．若一个小于200的三位“多余数”记为t，它的各位数字之和再加上1为一个完全平方数，请求出所有“多余数”中F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）将11分解为1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，根据1×10＜2×9＜3×8＜4×7＜5×6即可求出F（11）的值；
（2）找出小于200且各位数字之和再加上1为一个完全平方数的数，再根据“多余数”的定义找出其中的最大数，重复（1）的操作，即可找出所有“多余数”中F（t）的最大值．

解答 解：（1）11可以分解成1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，
∵1×10＜2×9＜3×8＜4×7＜5×6，
∴F（11）=5×6=30．
（2）小于200且各位数字之和再加上1为一个完全平方数的数有：195、186、177、170、168、161、159、152、143、134、125、120、116、111、107、102，
其中最大的“多余数”为170，
170可以分为1+169、2+168、…、84+86、85+85，
∵1×169＜2×168＜…＜84×86＜85×85，
∴F（170）=85×85=7225，
∴所有“多余数”中F（t）的最大值为7225．

点评 本题考查了因式分解的应用以及有理数的计算，解题的关键：（1）熟读题意，理解何为最佳分解；（2）找出符合题意得最大三位数．